P2678 [NOIP 2015 提高组] 跳石头

题目背景

NOIP2015 Day2T1

题目描述

一年一度的“跳石头”比赛又要开始了！

这项比赛将在一条笔直的河道中进行，河道中分布着一些巨大岩石。组委会已经选择好了两块岩石作为比赛起点和终点。在起点和终点之间，有 $N$ 块岩石（不含起点和终点的岩石）。在比赛过程中，选手们将从起点出发，每一步跳向相邻的岩石，直至到达终点。

为了提高比赛难度，组委会计划移走一些岩石，使得选手们在比赛过程中的最短跳跃距离尽可能长。由于预算限制，组委会至多从起点和终点之间移走 $M$ 块岩石（不能移走起点和终点的岩石）。

输入格式

第一行包含三个整数 $L,N,M$，分别表示起点到终点的距离，起点和终点之间的岩石数，以及组委会至多移走的岩石数。保证 $L \geq 1$ 且 $N \geq M \geq 0$。

接下来 $N$ 行，每行一个整数，第 $i$ 行的整数 $D_i,( 0 < D_i < L)$，表示第 $i$ 块岩石与起点的距离。这些岩石按与起点距离从小到大的顺序给出，且不会有两个岩石出现在同一个位置。

输出格式

一个整数，即最短跳跃距离的最大值。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

说明/提示

输入输出样例 1 说明

将与起点距离为 $2$ 和 $14$ 的两个岩石移走后，最短的跳跃距离为 $4$（从与起点距离 $17$ 的岩石跳到距离 $21$ 的岩石，或者从距离 $21$ 的岩石跳到终点）。

数据规模与约定

对于 $20%$的数据，$0 \le M \le N \le 10$。对于 $50%$ 的数据，$0 \le M \le N \le 100$。
对于 $100%$ 的数据，$0 \le M \le N \le 50000,1 \le L \le 10^9$。

思路分析 + 代码实现

题目要求的是“最小的最大”，加上这道题答案具有“单调性”，而且比较容易判断一个目标最短距离是否合法，所以采取二分答案的做法，时间复杂度为 $O(n \log n)$ ，代码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int MAXN = 5e4 + 5;
int d[MAXN], s[MAXN];
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int L, N, M;
    cin >> L >> N >> M;
    for(int i = 1; i <= N; i++)
        cin >> d[i];
    d[N + 1] = L;
    int l = 0, r = 1e9, ans = 0;
    while (l <= r) {
        for(int i = 0; i <= N + 1; i++)
            s[i] = d[i];
        int mid = (l + r) / 2, cnt = 0;
        for(int i = N + 1; i >= 1; i--)
            if (s[i] - s[i - 1] < mid) {
                cnt++;
                s[i - 1] = s[i];
            }
        if (cnt <= M) {
            l = mid + 1;
            ans = max(mid, ans);
        } else r = mid - 1;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

这里用的方法是用数组 $s$ 作为数组 $d$ 的副本，还能优化。

用变量 $dis$ 记录上一块石头距离起点的距离，如果枚举到的石头需要移走，则不用更新 $dis$ ，否则更新。此外 ans = max(mid, ans); 可以写成 ans = mid; 。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
constexpr int MAXN = 5e4 + 5;
int d[MAXN];
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(nullptr);
    int L, N, M;
    cin >> L >> N >> M;
    for(int i = 0; i < N; i++)
        cin >> d[i];
    d[N] = L;
    int l = 0, r = 1e9, ans = 0;
    while (l <= r) {
        int mid = (l + r) / 2, cnt = 0, dis = 0;
        for(int i = 0; i <= N; i++)
            if (d[i] - dis < mid)
                cnt++;
            else dis = d[i];
        if (cnt <= M) {
            l = mid + 1;
            ans = mid;
        } else r = mid - 1;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}